[기술면접] 중심극한정리는 왜 유용한걸까요?

Q. 중심극한정리는 왜 유용한걸까요?

 

1. 중심극한정리(Central Litmit Theorem, CLT) 란?

- 모집단이 어떤 분포를 따르든 충분히 큰 크기의 표본을 여러번 추출하여 그 표본 평균을 구하면, 그 표본 평균의 분포는 정규분포에 가까워진다.

 

2. 중심극한정리의 활용성
- 많은 통계 기법이 정규분포를 가정하고 설계되어 있다. (t-검정, 회귀분석, 신뢰구간 계산 등)

- 정규분포를 근사적으로 사용할 수 있는 근거를 제공해 통계적 추론을 수행할 수 있다.(분석의 정당성 확보)

- 데이터를 정규분포로 근사함으로써 실직적인 문제 해결에 도움을 준다.

- 예시: 공장에서 생산된 제품의 품질 데이터를 정규분포로 근사하여, 평균 품질을 분석하거나 결함률을 추정할 수 있다.

 

3. 중심극한정리의 가정

- 표본의 크기가 충분히 커야 한다.

- 표본이 독립적으로 추출되어야 한다.

- 모집단이 극단적으로 분산이 크거나 특이한 경우(무한히 긴 꼬리를 가진 분포 등), 표본의 크기가 매우 커야 한다.

 

2. 대수의 법칙

- 표본의 크기가 충분히 커지면, 표본 평균이 모집단의 기대값(평균)에 점점 가까워 진다.

- 표본 평균을 모집단 평균의 근사값으로 사용할 수 있어 표본 평균의 신뢰성을 보장(정확도가 높아짐)

- 통계적 추정의 이론적 기반(표본 평균으로 모집단 평균 추정)

 

3. 중심극한정리와 대수의 법칙

구분	대수의 법칙	중심극한정리
초점	표본 평균이 모집단 평균에 수렴	표본 평균의 분포가 정규분포에 가까워짐
역할	표본평균이 점추정값으로 적합하다는 것을 뒷받침	표본평균의 분포적 특성을 제공해 신뢰구간과 같은 구간추정을 가능하게 함
표현

 

1) 점추정: 모집단의 특정 값(평균, 분산 등)을 하나의 값으로 추정

예) 표본 평균으로 모집단의 평균을 추정

 

2) 구간추정: 모집단의 특정 값에 대한 범위(구간)을 제공하며, 이 구간이 참값을 포함할 확률(신뢰수준)을 명시

예) 신뢰구간으로 모집단 평균의 범위를 제시